AP 微积分 AB - 单元 1：极限与连续性

极限 (Limit) 的直观定义是什么？

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当 x 无限接近某个值 c 时，函数值 f(x) 所趋近的那个特定值 L。

极限表示法：lim(x→c) f(x) = L

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读作：当 x 趋近于 c 时，f(x) 的极限等于 L。

极限存在的条件是什么？

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左极限和右极限都存在且相等。lim(x→c⁻) f(x) = lim(x→c⁺) f(x)。

极限不存在的三种主要情况？

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1. 左右极限不相等（跳跃）； 2. 函数值趋于无穷（无界）； 3. 函数值在两个定值间振荡。

什么是不定式 (Indeterminate Form)？

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无法直接确定其值的形式，如 0/0 或 ∞/∞。需要进一步化简才能求出极限。

求解不定式 0/0 的一个代数技巧？

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因式分解与消去法：分解分子和分母，消去导致 0/0 的公因式。

求解涉及根号的不定式的代数技巧？

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共轭法：将分子或分母同乘以其共轭式，以消除根号。

夹挤定理 (Squeeze Theorem)

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如果 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 且 lim g(x) = lim h(x) = L，那么 lim f(x) = L。

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重要的三角函数极限：lim(x→0) sin(x)/x = ?

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重要的三角函数极限：lim(x→0) (1 - cos(x))/x = ?

如何从极限定义垂直渐近线 (Vertical Asymptote)？

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如果 lim(x→c⁺) f(x) = ±∞ 或 lim(x→c⁻) f(x) = ±∞，则直线 x=c 是一条垂直渐近线。

如何从极限定义水平渐近线 (Horizontal Asymptote)？

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如果 lim(x→∞) f(x) = L 或 lim(x→-∞) f(x) = L，则直线 y=L 是一条水平渐近线。

函数 f(x) 在点 c 连续的三个条件是什么？

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1. f(c) 有定义； 2. lim(x→c) f(x) 存在； 3. lim(x→c) f(x) = f(c)。

可去间断点 (Removable Discontinuity)

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lim(x→c) f(x) 存在，但不等于 f(c) 或 f(c) 无定义。图像上表现为一个“洞”。

跳跃间断点 (Jump Discontinuity)

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左极限和右极限都存在但不相等。lim(x→c⁻) f(x) ≠ lim(x→c⁺) f(x)。

无限间断点 (Infinite Discontinuity)

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单侧或双侧极限趋向于 ±∞。通常与垂直渐近线相关。

介值定理 (Intermediate Value Theorem, IVT)

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如果 f 在闭区间 [a, b] 上连续，k 是介于 f(a) 和 f(b) 之间的任意数，则在 [a, b] 中至少存在一个 c，使得 f(c) = k。