AP 微积分 AB - 单元 2：导数——定义与基本性质

平均变化率 (Average Rate of Change)

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函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的平均变化率为 Δy/Δx = [f(b) - f(a)] / (b - a)。它代表了割线的斜率。

瞬时变化率 (Instantaneous Rate of Change)

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函数在某一点的变化率，即该点切线的斜率。它就是导数在该点的值。

导数的极限定义 (Limit Definition of a Derivative)

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f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

导数的另一定义形式 (Alternate Form of Derivative's Definition)

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在点 c 的导数 f'(c) = lim(x→c) [f(x) - f(c)] / (x - c)

可导性与连续性的关系

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若函数 f 在 x=c 点可导，则 f 在该点必定连续。反之不成立（例如 y=|x| 在 x=0 处连续但不可导）。

导数不存在的三种情况

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1. 尖点 (Corner) 2. 陡坡/尖点 (Cusp) 3. 垂直切线 (Vertical Tangent)。不连续点处导数也一定不存在。

幂函数法则 (Power Rule)

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d/dx [xⁿ] = n⋅xⁿ⁻¹

常数倍法则 (Constant Multiple Rule)

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d/dx [c⋅f(x)] = c⋅f'(x)

和/差法则 (Sum/Difference Rule)

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d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

乘法法则 (Product Rule)

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d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

除法法则 (Quotient Rule)

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d/dx [f(x)/g(x)] = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²

sin(x) 的导数

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d/dx [sin(x)] = cos(x)

cos(x) 的导数

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d/dx [cos(x)] = -sin(x)

eˣ 的导数

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d/dx [eˣ] = eˣ

高阶导数 (Higher-Order Derivatives)

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对导数再次求导。记号：二阶导数 f''(x) 或 d²y/dx²。

位置 s(t), 速度 v(t), 加速度 a(t)

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速度是位置对时间的导数：v(t) = s'(t)。加速度是速度对时间的导数：a(t) = v'(t) = s''(t)。

切线方程

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函数 f(x) 在点 (a, f(a)) 的切线方程为：y - f(a) = f'(a)(x - a)

法线方程

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法线与切线垂直。在点 (a, f(a)) 的法线斜率为 -1/f'(a) (前提是 f'(a)≠0)。