AP 微积分 AB - 单元 3：导数——复合、隐函数与反函数

链式法则 (Chain Rule)

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若 h(x) = f(g(x)), 则 h'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x)。简记为：外导内不变，再乘内导。

n ⋅ uⁿ⁻¹ ⋅ du/dx

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应用链式法则求 d/dx [uⁿ] (其中 u 是 x 的函数)

cos(u) ⋅ du/dx

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应用链式法则求 d/dx [sin(u)]

eᵘ ⋅ du/dx

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应用链式法则求 d/dx [eᵘ]

(1/u) ⋅ du/dx

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应用链式法则求 d/dx [ln(u)]

隐函数求导法 (Implicit Differentiation)

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当 y 是 x 的函数但关系式未显式给出时，将方程两边对 x 求导，并将 dy/dx 作为变量求解。

3y² ⋅ dy/dx

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在隐函数求导中，d/dx [y³] 等于什么？

在隐函数求导中，d/dx [xy] 等于什么？

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1⋅y + x⋅(dy/dx) (使用乘法法则)

如何求隐函数在某一点的切线斜率？

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1. 求出 dy/dx 的表达式。
2. 将该点的 x 和 y 坐标代入表达式中。

反函数求导法则

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若 g(x) 是 f(x) 的反函数 (g = f⁻¹)，则 g'(x) = 1 / f'(g(x))。

(f⁻¹)'(b) = 1 / f'(a)

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反函数求导法则的实际应用：若 f(a) = b，则 (f⁻¹)'(b) = ?

1 / √(1 - x²)

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导数 d/dx [arcsin(x)]

-1 / √(1 - x²)

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导数 d/dx [arccos(x)]

1 / (1 + x²)

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导数 d/dx [arctan(x)]

应用链式法则求 d/dx [arctan(u)]

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(1 / (1 + u²)) ⋅ du/dx

导数 d/dx [aˣ]

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aˣ ⋅ ln(a)

导数 d/dx [logₐ(x)]

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1 / (x ⋅ ln(a))