AP 微积分 AB - 单元 5：导数的解析应用

中值定理 (Mean Value Theorem)

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若函数 f 在 [a, b] 连续，在 (a, b) 可导，则必存在一点 c∈(a, b)，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

极值定理 (Extreme Value Theorem)

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若函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f 在该区间必存在绝对最大值和绝对最小值。

临界点 (Critical Point)

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函数定义域内，使其一阶导数 f'(x) 等于 0 或不存在的点 x 的值。

函数的单调性与一阶导数的关系？

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在某区间上，若 f'(x) > 0，则函数递增；若 f'(x) < 0，则函数递减。

一阶导数测试 (First Derivative Test)

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通过判断临界点两侧 f'(x) 的符号变化来确定局部极值：由正变负为局部极大值，由负变正为局部极小值。

函数的凹凸性 (Concavity)

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描述函数图像弯曲方向的性质。上凹 (Concave Up) 形如 U，下凹 (Concave Down) 形如 n。

函数的凹凸性与二阶导数的关系？

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在某区间上，若 f''(x) > 0，则图像是上凹的；若 f''(x) < 0，则图像是下凹的。

拐点 (Point of Inflection)

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函数图像上凹凸性发生改变的点。通常发生在 f''(x) = 0 或不存在，且其两侧符号改变的地方。

二阶导数测试 (Second Derivative Test)

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设 c 为临界点 (f'(c)=0)：若 f''(c) > 0，则 f(c) 为局部极小值；若 f''(c) < 0，则 f(c) 为局部极大值。

二阶导数测试何时会失效？

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当 f'(c)=0 且 f''(c)=0 或 f''(c) 不存在时，测试失效。此时需改用一阶导数测试。

局部极值 (Relative/Local Extrema)

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函数在其定义域内某点附近邻域内的最大值或最小值。只可能在临界点处取得。

绝对极值 (Absolute/Global Extrema)

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函数在整个定义域（或指定闭区间）上的最大值或最小值。

如何在闭区间 [a, b] 上寻找绝对极值？

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1. 找出 (a, b) 内的所有临界点。2. 计算函数在所有临界点和两个端点 a, b 处的值。3. 比较所有值，最大者为绝对最大值，最小者为绝对最小值。

罗尔定理 (Rolle's Theorem)

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中值定理的特例。在满足中值定理条件的基础上，若 f(a) = f(b)，则必存在一点 c∈(a, b)，使得 f'(c) = 0。

优化问题 (Optimization Problems)

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应用导数来寻找在给定约束条件下，某个量的最大值或最小值的问题。