AP 微积分 AB - 单元 6：积分与变化累积

不定积分 (Indefinite Integral)

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一个函数 f(x) 的所有反导数（antiderivative）的集合，记为 ∫f(x)dx = F(x) + C。

积分常数 (Constant of Integration)

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不定积分中出现的任意常数 C，表示一族具有相同导数的函数。

黎曼和 (Riemann Sum)

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通过将曲线下的区域分割成多个矩形并求其面积之和，来近似计算定积分的值。

定积分 (Definite Integral)

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函数在区间 [a, b] 上曲线下的“净面积”，记为 ∫[a, b] f(x)dx，其结果是一个数值。

微积分第一基本定理 (FTC Part 1)

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若 g(x) = ∫[a, x] f(t)dt，则 g'(x) = f(x)。它将积分和微分联系起来。

微积分第二基本定理 (FTC Part 2)

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又称求值定理。若 F 是 f 的反导数，则 ∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。

累积函数 (Accumulation Function)

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由积分定义的函数，如 F(x) = ∫[a, x] f(t)dt，表示从定点 a 到变量 x 的 f(t) 的累积量。

净变化定理 (Net Change Theorem)

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一个量的变化率在某时间区间上的积分，等于该量在此区间上的净变化量：∫[a, b] F'(t)dt = F(b) - F(a)。

位移 vs. 总路程 (Displacement vs. Total Distance)

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位移 = ∫ v(t)dt (速度的积分)，总路程 = ∫ |v(t)|dt (速率的积分)。

函数的平均值 (Average Value of a Function)

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函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的平均值为 (1/(b-a)) ∫[a, b] f(x)dx。

换元积分法 (u-Substitution)

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一种积分技巧，通过变量代换来简化被积函数，是链式法则求导的逆运算。

分离变量法 (Separation of Variables)

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求解特定类型微分方程的方法，将变量分离到等式两边后分别积分。

两曲线间面积

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∫[a, b] (上层函数 - 下层函数) dx

梯形法则 (Trapezoidal Rule)

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用梯形面积之和来近似计算定积分的一种数值方法，通常比黎曼和更精确。

初始条件 (Initial Condition)

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在求解微分方程时给定的一个点 (x₀, y₀)，用于确定积分常数 C，从而找到特解。