AP 微积分 AB - 单元 7：微分方程

一个包含未知函数及其导数的方程。

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微分方程 (Differential Equation)

一个代入后能使微分方程成立的函数。

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微分方程的解 (Solution to a DE)

斜率场 (Slope Field)

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微分方程 dy/dx = f(x,y) 的图形化表示，在多个点 (x,y) 处绘制具有相应斜率 f(x,y) 的小线段。

初始条件 (Initial Condition)

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一个给定的点 (x₀, y₀)，解曲线必须通过该点。用于求特解。

通解 (General Solution)

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包含任意常数（通常是 +C）的微分方程的解，代表一族函数。

特解 (Particular Solution)

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通过使用初始条件确定了常数 C 之后的唯一解。

分离变量法 (Separation of Variables)

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一种求解微分方程的技巧：将所有 y 和 dy 移到一边，所有 x 和 dx 移到另一边，然后对两边进行积分。

如何利用斜率场绘制解曲线？

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从初始条件给出的点开始，沿着斜率场线段指示的方向（“随波逐流”）绘制曲线。

如何验证一个函数是否为解？

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将该函数及其导数代入微分方程，看等式是否成立。

求解 dy/dx = f(x)g(y) 的第一步是什么？

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分离变量：(1/g(y)) dy = f(x) dx。

“y的变化率与y成正比”对应的微分方程是什么？

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dy/dt = ky，其中 k 是比例常数。

微分方程 dy/dt = ky 的通解是什么？

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y = C * e^(kt) (指数增长或衰减模型)

在 y = C * e^(kt) 模型中，C 代表什么？

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初始值，即当 t=0 时的 y 值 (y(0))。

当 k > 0 时，dy/dt = ky 模型代表什么？

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指数增长 (Exponential Growth)。

当 k < 0 时，dy/dt = ky 模型代表什么？

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指数衰减 (Exponential Decay)。

求 dy/dx = 2x/y，且通过点(1, -3)的特解。

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1. 通解: y² = 2x² + C。 2. 代入(1,-3): (-3)² = 2(1)² + C => 9 = 2 + C => C=7。 3. 特解: y² = 2x² + 7。