AP 微积分 AB - 单元 8：积分的应用

函数的平均值 (Average Value)

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在区间 [a, b] 上，f(x) 的平均值为 (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx。

位移 (Displacement)

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速度函数 v(t) 在 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] v(t) dt。代表位置的净变化量。

总路程 (Total Distance)

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速率 |v(t)| 在 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] |v(t)| dt。代表移动的总距离。

根据速度求最终位置

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t=b 时的位置 = t=a 时的初始位置 + 位移。 P(b) = P(a) + ∫[a,b] v(t) dt。

用积分表示的累积量

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如果 R(t) 是一个变化的速率，那么在 [a, b] 时间段内的总累积量为 ∫[a,b] R(t) dt。

两曲线间的面积 (对 x 积分)

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A = ∫[a,b] (上层函数 - 下层函数) dx。

两曲线间的面积 (对 y 积分)

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A = ∫[c,d] (右侧函数 - 左侧函数) dy。

已知横截面的体积 (通用公式)

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V = ∫[a,b] A(x) dx，其中 A(x) 是垂直于 x 轴的横截面面积。

横截面为正方形的体积

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V = ∫[a,b] [s(x)]² dx，其中 s(x) 是正方形的边长。

横截面为半圆的体积

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V = ∫[a,b] (π/8)[d(x)]² dx，其中 d(x) 是半圆的直径。

横截面为等边三角形的体积

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V = ∫[a,b] (√3/4)[s(x)]² dx，其中 s(x) 是三角形的边长。

圆盘法 (Disk Method)

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计算绕轴旋转的实心旋转体体积。体积由无穷多个薄圆盘累加而成。

圆盘法公式 (绕 x 轴)

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V = π ∫[a,b] [R(x)]² dx，其中 R(x) 是区域的半径。

垫圈法 (Washer Method)

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计算绕轴旋转的空心（中空）旋转体体积。

垫圈法公式 (绕 x 轴)

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V = π ∫[a,b] ([R(x)]² - [r(x)]²) dx，其中 R(x)是外半径，r(x)是内半径。

外半径 R(x) vs 内半径 r(x)

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R(x) 是从旋转轴到外层边界的距离。r(x) 是从旋转轴到内层边界的距离。