AP 微积分 BC - 单元 1：极限与连续性

极限 (Limit)

点击看答案

当一个自变量 x 趋近于某点 c 时，函数 f(x) 的值所趋近的特定值 L。

极限存在的条件

点击看答案

当且仅当左极限等于右极限时，极限存在。即 lim x→c⁻ f(x) = lim x→c⁺ f(x)。

函数在一点 c 连续的三个条件

点击看答案

1. f(c) 有定义； 2. lim x→c f(x) 存在； 3. lim x→c f(x) = f(c)。

可去间断点 (Removable Discontinuity)

点击看答案

极限 lim x→c f(x) 存在，但 f(c) 无定义或 lim x→c f(x) ≠ f(c)。图形上是一个“洞”。

函数的左极限和右极限都存在，但不相等。

点击看答案

跳跃间断点 (Jump Discontinuity)

无穷间断点 (Infinite Discontinuity)

点击看答案

函数的单侧或双侧极限为正无穷或负无穷。通常表现为垂直渐近线。

垂直渐近线 (Vertical Asymptote)

点击看答案

在 x=a 处，如果 lim x→a⁺ f(x) = ±∞ 或 lim x→a⁻ f(x) = ±∞。

水平渐近线 (Horizontal Asymptote)

点击看答案

在 y=L 处，如果 lim x→∞ f(x) = L 或 lim x→-∞ f(x) = L。

介值定理 (Intermediate Value Theorem, IVT)

点击看答案

如果 f 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f 会取到 f(a) 和 f(b) 之间的任意一个值。

夹逼定理 (Squeeze Theorem)

点击看答案

若在 c 附近有 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim x→c g(x) = lim x→c h(x) = L，则 lim x→c f(x) = L。

重要三角极限 (一)

点击看答案

lim x→0 (sin x) / x = 1

重要三角极限 (二)

点击看答案

lim x→0 (1 - cos x) / x = 0

自然常数 e 的极限定义

点击看答案

lim n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e

洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)

点击看答案

用于计算 0/0 或 ∞/∞ 型不定式极限。lim [f(x)/g(x)] = lim [f'(x)/g'(x)]。

极限不存在的三种情况

点击看答案

1. 左右极限不相等 (跳跃)； 2. 函数值趋于无穷 (振荡)； 3. 函数值在两个或多个值之间振荡。

无穷极限 (Infinite Limit)

点击看答案

当 x 趋近于某点 c 时，函数值无限增大或减小。例如 lim x→c f(x) = ∞。

在无穷远处的极限 (Limit at Infinity)

点击看答案

当 x 趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近的极限。用于确定水平渐近线。