AP 微积分 BC - 单元 10：无穷序列与级数

序列 (Sequence)

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一个按特定顺序排列的数字列表，表示为 {aₙ}。

序列的收敛

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如果 lim(n→∞) aₙ = L (一个有限值)，则序列 {aₙ} 收敛于 L。

级数 (Series)

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一个序列各项的总和，表示为 Σaₙ。

第 n 项判别法 (nth Term Test)

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如果 lim(n→∞) aₙ ≠ 0，那么级数 Σaₙ 发散。注意：如果极限为 0，此测试无效。

几何级数 (Geometric Series)

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形如 Σarⁿ⁻¹。当 |r| < 1 时收敛，和为 a/(1-r)。当 |r| ≥ 1 时发散。

p-级数 (p-Series)

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形如 Σ(1/nᵖ)。当 p > 1 时收敛，当 p ≤ 1 时发散。

积分判别法 (Integral Test)

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若 f(x) 连续、正值、递减，且 aₙ=f(n)，则 Σaₙ 和 ∫f(x)dx (从 1 到 ∞) 同收敛或同发散。

极限比较判别法 (Limit Comparison Test)

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若 lim(n→∞) (aₙ/bₙ) = L (L为有限正数)，则正项级数 Σaₙ 和 Σbₙ 同收敛或同发散。

交错级数判别法 (Alternating Series Test)

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若 (1) bₙ₊₁ ≤ bₙ (递减) 且 (2) lim(n→∞) bₙ = 0，则交错级数 Σ(-1)ⁿbₙ 收敛。

绝对收敛 vs 条件收敛

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绝对收敛：Σ|aₙ| 收敛。条件收敛：Σaₙ 收敛但 Σ|aₙ| 发散。

比值判别法 (Ratio Test)

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设 L = lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ|。L<1 绝对收敛；L>1 发散；L=1 测试无效。

根值判别法 (Root Test)

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设 L = lim(n→∞) ⁿ√|aₙ|。L<1 绝对收敛；L>1 发散；L=1 测试无效。

幂级数 (Power Series)

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形如 Σcₙ(x-a)ⁿ 的级数，其中 a 是中心。

收敛半径与收敛区间

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幂级数收敛的 x 值的范围。半径为 R，区间通常是 (a-R, a+R)，需检查端点。

泰勒级数 (Taylor Series)

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函数 f(x) 在 x=a 处的展开式：Σ [f⁽ⁿ⁾(a)/n!] (x-a)ⁿ。

麦克劳林级数 (Maclaurin Series)

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中心在 a=0 处的泰勒级数：Σ [f⁽ⁿ⁾(0)/n!] xⁿ。

常用麦克劳林级数：eˣ

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1 + x + x²/2! + x³/3! + ... = Σ xⁿ/n!

常用麦克劳林级数：sin(x)

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x - x³/3! + x⁵/5! - ... = Σ (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!

交错级数估算误差

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误差 |Rₙ| = |S - Sₙ| ≤ bₙ₊₁ (第一个被舍弃项的绝对值)。

拉格朗日余项 (Lagrange Error)

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泰勒多项式 Pₙ(x) 的误差 |Rₙ(x)| ≤ [M/(n+1)!] |x-a|ⁿ⁺¹，M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾(z)| 在区间上的最大值。