AP 微积分 BC - 单元 2：导数：定义与基本性质

平均变化率 (Average Rate of Change)

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区间 [a, b] 上的平均变化率为 Δy/Δx = (f(b) - f(a)) / (b - a)。几何意义是割线的斜率。

瞬时变化率 (Instantaneous Rate of Change)

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函数在某一点的变化率，即该点导数的值 f'(a)。几何意义是切线的斜率。

导数的定义 (极限形式)

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f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

导数的定义 (在点 a 的替代形式)

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f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)

可导性与连续性的关系

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如果一个函数在某点可导，那么它在该点一定连续。但连续不一定可导。

函数在一点不可导的四种情况

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尖点 (corner)、 cusp (cusp)、垂直切线 (vertical tangent)、不连续点 (discontinuity)。

幂函数法则 (Power Rule)

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d/dx (x^n) = n * x^(n-1)

乘积法则 (Product Rule)

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d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

商法则 (Quotient Rule)

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d/dx [f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²

cos(x)

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d/dx [sin(x)]

-sin(x)

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d/dx [cos(x)]

e^x

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d/dx [e^x]

d/dx [ln(x)]

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1/x, (x > 0)

d/dx [a^x]

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a^x * ln(a)

点 (a, f(a)) 处的切线方程

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y - f(a) = f'(a)(x - a)

法线 (Normal Line)

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在一点处与切线垂直的直线。其斜率为 -1/f'(a)。

高阶导数

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对导数再次求导。记号：f''(x), f'''(x), f^(n)(x), 或 d²y/dx², d³y/dx³。

位置 s(t)、速度 v(t) 与加速度 a(t) 的关系

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速度是位置的导数，加速度是速度的导数。v(t) = s'(t)，a(t) = v'(t) = s''(t)。