AP 微积分 BC - 单元 3：导数：复合、隐函数与反函数

链式法则 (Chain Rule)

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若 h(x) = f(g(x)), 则 h'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x)。对外部求导，乘以对内部的导数。

d/dx [sin(u)]

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cos(u) ⋅ u'

d/dx [tan(u)]

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sec²(u) ⋅ u'

d/dx [sec(u)]

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sec(u)tan(u) ⋅ u'

d/dx [eᵘ]

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eᵘ ⋅ u'

d/dx [ln(u)]

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(1/u) ⋅ u'

d/dx [aᵘ]

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aᵘ ⋅ ln(a) ⋅ u'

隐函数求导法 (Implicit Differentiation)

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当 y 不是 x 的显函数时，对整个方程两边关于 x 求导，并将 dy/dx 作为未知数求解。

隐函数求导中如何处理 y 项？

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将 y 视为 x 的函数，使用链式法则。例如, d/dx[y³] = 3y² ⋅ (dy/dx)。

求曲线 x² + y² = 25 在点 (3, -4) 的切线斜率。

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2x + 2y(dy/dx) = 0. 所以 dy/dx = -x/y。在 (3, -4) 处，斜率为 -3/(-4) = 3/4。

反函数求导法则

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若 g(x) 是 f(x) 的反函数 (g = f⁻¹)，则 g'(a) = 1 / f'(g(a))。

莱布尼茨表示法的反函数求导

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dy/dx = 1 / (dx/dy)

1 / √(1 - u²) ⋅ u'

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d/dx [arcsin(u)] 或 d/dx [sin⁻¹(u)]

1 / (1 + u²) ⋅ u'

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d/dx [arctan(u)] 或 d/dx [tan⁻¹(u)]

1 / (|u|√(u² - 1)) ⋅ u'

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d/dx [arcsec(u)] 或 d/dx [sec⁻¹(u)]

高阶导数 (Higher-Order Derivatives)

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对函数求导多次。二阶导数 f''(x) 或 d²y/dx² 描述了函数凹凸性。

对数求导法 (Logarithmic Differentiation)

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用于求形如 y = [f(x)]^[g(x)] 或复杂乘除函数的导数。先取自然对数，再用隐函数求导。