AP 微积分 BC - 单元 5：导数的解析应用

中值定理 (Mean Value Theorem, MVT)

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若函数 f 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，则在 (a, b) 内至少存在一点 c，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

极值定理 (Extreme Value Theorem, EVT)

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若函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，则 f 在该区间上必定取得全局最大值和全局最小值。

临界点 (Critical Point)

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函数定义域内的一点 c，如果 f'(c) = 0 或者 f'(c) 不存在。

如何寻找闭区间上的全局极值？

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1. 找到所有临界点。 2. 计算临界点和两个端点处的函数值。 3. 比较所有值，最大的是全局最大值，最小的是全局最小值。

一阶导数判别法 (First Derivative Test)

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在临界点 c：若 f' 由正变负，则为局部最大值；若 f' 由负变正，则为局部最小值。

函数递增/递减的条件？

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在一个区间上，如果 f'(x) > 0，则函数 f 在该区间上递增；如果 f'(x) < 0，则递减。

凹凸性 (Concavity)

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在一个区间上，如果 f''(x) > 0，则函数 f 的图像是上凹的 (concave up)；如果 f''(x) < 0，则是下凹的 (concave down)。

拐点 (Point of Inflection)

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函数图像上凹凸性发生改变的点。通常发生在 f''(x) = 0 或 f''(x) 不存在的点，且 f'' 在该点两侧变号。

二阶导数判别法 (Second Derivative Test)

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设 f'(c) = 0：若 f''(c) > 0，则 f(c) 是局部最小值；若 f''(c) < 0，则 f(c) 是局部最大值。

二阶导数判别法何时会失效？

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当 f'(c) = 0 且 f''(c) = 0 或 f''(c) 不存在时，此方法失效，必须使用一阶导数判别法。

洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)

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用于计算不定式极限 0/0 或 ∞/∞。若 lim f(x)/g(x) 是不定式，则其值等于 lim f'(x)/g'(x)（如果后者存在）。

除了 0/0 和 ∞/∞，还有哪些不定式形式？

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0 ⋅ ∞, ∞ - ∞, 1^∞, 0^0, ∞^0。这些形式需要先通过代数变换转化为 0/0 或 ∞/∞ 形式。

罗尔定理 (Rolle's Theorem)

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中值定理的特例。若 f 在 [a,b] 连续，(a,b) 可导，且 f(a) = f(b)，则在 (a,b) 内至少存在一点 c，使得 f'(c) = 0。

优化问题 (Optimization)

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建立一个函数模型来表示需要最大化或最小化的量，然后利用导数和临界点来找到该函数的最优解。

f(x), f'(x), f''(x) 之间的关系

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f'(x) 的符号决定 f(x) 的增减性；f''(x) 的符号决定 f(x) 的凹凸性。