AP 微积分 BC - 单元 6：积分与变化累积

黎曼和 (Riemann Sum)

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用一系列矩形的面积来近似计算曲线下的面积。

定积分 (Definite Integral)

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函数在区间 `[a, b]` 上的净面积，表示为 `∫[a, b] f(x) dx`。

微积分第一基本定理

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若 `g(x) = ∫[a, x] f(t) dt`，则 `g'(x) = f(x)`。

微积分第二基本定理 (求值定理)

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若 `F'(x) = f(x)`，则 `∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)`。

累积函数 (Accumulation Function)

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`F(x) = ∫[a, x] f(t) dt`，表示从固定点 `a` 到变量 `x` 的变化率 `f(t)` 的净累积量。

净变化定理 (Net Change Theorem)

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变化率的积分 `∫[a, b] F'(t) dt` 等于函数在 `[a, b]` 上的净变化 `F(b) - F(a)`。

函数的平均值

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函数 `f(x)` 在 `[a, b]` 上的平均值为 `(1/(b-a)) ∫[a, b] f(x) dx`。

换元积分法 (U-Substitution)

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通过变量代换 `u = g(x)` 简化积分，是链式法则的逆运算。

分部积分法

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用于对两个函数的乘积进行积分。公式: `∫ u dv = uv - ∫ v du`。

部分分式积分法

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将有理函数分解为更简单的部分分式之和来进行积分的方法。

反常积分 (Improper Integral)

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积分区间为无穷，或被积函数在积分区间内有无限不连续点的积分。

两曲线之间的面积

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`A = ∫[a, b] (上方函数 - 下方函数) dx`。

垫圈法求体积 (Washer Method)

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求旋转体体积：`V = π ∫[a, b] (R(x)² - r(x)²) dx`，其中 R 为外半径，r 为内半径。

已知横截面积求体积

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`V = ∫[a, b] A(x) dx`，其中 `A(x)` 是垂直于积分轴的横截面面积。

弧长 (Arc Length)

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计算曲线的长度：`L = ∫[a, b] √(1 + [f'(x)]²) dx`。