AP 微积分 BC - 单元 7：微分方程

微分方程 (Differential Equation)

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一个包含未知函数及其一个或多个导数的方程。

微分方程的解 (Solution of a DE)

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一个函数 y = f(x)，代入微分方程后能使方程成立。

斜率场 (Slope Field)

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在 xy 平面上绘制许多小线段，每个线段的斜率等于该点 (x, y) 的 dy/dx 值，用于可视化微分方程的解曲线。

通解 (General Solution)

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包含一个或多个任意常数（如 C）的微分方程的解集。

特解 (Particular Solution)

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通过使用初始条件（一个点）确定了通解中任意常数后的唯一解。

初始条件 (Initial Condition)

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一个给定的点 (x₀, y₀)，解曲线必须通过该点。用于从通解中求出特解。

分离变量法 (Separation of Variables)

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求解形如 dy/dx = g(x)h(y) 的微分方程的方法。将所有 y 和 dy 项移到一边，所有 x 和 dx 项移到另一边，然后两边积分。

欧拉方法 (Euler's Method)

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一种使用局部切线逐步近似微分方程特解的数值方法。

欧拉方法的迭代公式

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y_new ≈ y_old + (dy/dx)|_(x_old, y_old) * Δx

指数增长/衰减模型

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微分方程：dy/dt = ky
解：y = Ce^(kt)

逻辑斯蒂微分方程 (Logistic DE)

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dP/dt = kP(L-P) 或 dP/dt = rP(1 - P/L)
描述了有环境承载量的增长。

环境承载量 (Carrying Capacity), L

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在逻辑斯蒂模型中，环境所能支持的最大种群数量。即当 t→∞ 时，P(t) 的极限。

逻辑斯蒂模型中增长速率最快点

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当种群数量达到环境承载量的一半时 (P = L/2)。

一阶线性微分方程

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形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的方程。

积分因子 (Integrating Factor), I(x)

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用于求解一阶线性微分方程的因子，其公式为 I(x) = e^(∫P(x)dx)。

如何使用积分因子求解?

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1. 将方程写成标准形式 dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2. 计算积分因子 I(x) = e^(∫P(x)dx)。
3. 方程两边同乘以 I(x)。
4. 方程左边变为 d/dx [I(x)y]。
5. 两边积分求解 y。