AP 微积分 BC - 单元 8：积分的应用

函数的平均值

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在区间 [a, b] 上，函数 f(x) 的平均值为 (1/(b-a)) ∫[a,b] f(x) dx。

两曲线所围成的面积 (对x积分)

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A = ∫[a,b] (上层函数 - 下层函数) dx

两曲线所围成的面积 (对y积分)

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A = ∫[c,d] (右侧函数 - 左侧函数) dy

已知横截面面积的立体体积

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V = ∫[a,b] A(x) dx，其中 A(x) 是垂直于x轴的横截面面积。

圆盘法求旋转体体积

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绕 x 轴旋转: V = π ∫[a,b] [R(x)]² dx，其中 R(x) 是半径。

垫圈法求旋转体体积

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V = π ∫[a,b] ([R(x)]² - [r(x)]²) dx，R(x)是外半径，r(x)是内半径。

笛卡尔坐标曲线的弧长

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L = ∫[a,b] √[1 + (f'(x))²] dx 或 L = ∫[c,d] √[1 + (g'(y))²] dy

参数方程曲线的弧长

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L = ∫[t₁,t₂] √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt

极坐标曲线的弧长

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L = ∫[α,β] √[r² + (dr/dθ)²] dθ

极坐标区域的面积

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A = (1/2) ∫[α,β] [r(θ)]² dθ

质点运动的位移

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从时间 t₁ 到 t₂ 的位移 = ∫[t₁,t₂] v(t) dt

质点运动的总路程

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从时间 t₁ 到 t₂ 的总路程 = ∫[t₁,t₂] |v(t)| dt

由速度求位置

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t 时刻的位置 x(t) = x(t₀) + ∫[t₀,t] v(u) du

反常积分 (无穷积分区间)

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∫[a,∞] f(x) dx = lim(b→∞) ∫[a,b] f(x) dx

反常积分 (无穷间断点)

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若f(x)在c处不连续, ∫[a,b] f(x) dx = lim(t→c⁻)∫[a,t] f(x) dx + lim(t→c⁺)∫[t,b] f(x) dx

收敛与发散 (反常积分)

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如果极限存在且为有限值，则积分收敛；否则，积分发散。

p-积分 (p-Integrals)

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∫[1,∞] (1/x^p) dx 在 p > 1 时收敛，在 p ≤ 1 时发散。