AP 微积分 BC - 单元 9：参数方程、极坐标与向量值函数

参数方程的斜率 dy/dx

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(dy/dt) / (dx/dt)

参数方程的二阶导数 d²y/dx²

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先求出 dy/dx (一个关于 t 的函数)，然后计算 (d/dt)(dy/dx) / (dx/dt)

参数曲线的弧长

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L = ∫[a, b] √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt

参数方程定义的速度 (Speed)

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√((dx/dt)² + (dy/dt)²)

极坐标与直角坐标的转换 (x, y)

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x = r cos(θ), y = r sin(θ)

直角坐标与极坐标的转换 (r, θ)

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r² = x² + y², tan(θ) = y/x

极坐标曲线的斜率 dy/dx

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(dy/dθ) / (dx/dθ) = (r'sinθ + rcosθ) / (r'cosθ - rsinθ)

极坐标区域的面积

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A = (1/2) ∫[α, β] r² dθ

极坐标曲线的弧长

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L = ∫[α, β] √(r² + (dr/dθ)²) dθ

向量值函数 𝐫(t)

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𝐫(t) = <x(t), y(t)> 或 𝐫(t) = x(t)𝐢 + y(t)𝐣

速度向量 𝐯(t)

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𝐯(t) = 𝐫'(t) = <x'(t), y'(t)>

加速度向量 𝐚(t)

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𝐚(t) = 𝐯'(t) = 𝐫''(t) = <x''(t), y''(t)>

质点运动的速率 (Speed)

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|𝐯(t)| = √((x'(t))² + (y'(t))²)，即速度向量的大小

质点走过的总路程 (Total Distance)

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∫[a, b] |𝐯(t)| dt，即速率的积分

从速度求位移

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最终位置 = 初始位置 + ∫[t₁, t₂] 𝐯(t) dt