AP 预备微积分 - 单元 1：多项式与有理函数

多项式函数

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形如 f(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 的函数，其中 n 为非负整数，系数 a_i 为实数。

多项式的次数 (Degree)

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多项式中最高次项的指数。决定了函数的基本形状和最终行为。

最终行为 (End Behavior)

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当 x 趋向于正无穷 (x→∞) 或负无穷 (x→-∞) 时，函数 f(x) 的趋势。

零点/根 (Zero/Root)

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使函数值 f(x) = 0 的 x 值。在图像上表现为 x 轴截距。

零点的重数 (Multiplicity)

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对应零点的因子在多项式中出现的次数。奇数重数穿过x轴，偶数重数与x轴相切。

平均变化率

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在区间 [a, b] 上，函数值的变化量与自变量变化量的比率：[f(b) - f(a)] / (b - a)。

介值定理 (IVT)

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若函数 f 在 [a, b] 上连续，则 f(x) 会取遍 f(a) 与 f(b) 之间的所有值。

因式定理 (Factor Theorem)

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(x - k) 是多项式 P(x) 的一个因式，当且仅当 P(k) = 0。

余数定理 (Remainder Theorem)

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当多项式 P(x) 除以 (x - k) 时，所得的余数等于 P(k)。

有理函数

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两个多项式的商，形式为 R(x) = P(x) / Q(x)，其中 Q(x) 不为零多项式。

有理函数的定义域

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所有使分母 Q(x) 不为零的实数 x 的集合。

垂直渐近线 (Vertical Asymptote)

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一条形如 x=c 的垂线，当 x 趋近 c 时 f(x) 趋向 ±∞。通常在分母为零但分子不为零处产生。

水平渐近线 (Horizontal Asymptote)

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一条形如 y=L 的水平线，当 x 趋向 ±∞ 时 f(x) 趋向 L。由分子和分母的次数关系决定。

斜渐近线 (Slant Asymptote)

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当分子次数恰好比分母次数大 1 时存在。可通过多项式长除法求得商式。

可去间断点 (洞)

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在 x=c 处，分子和分母同时为零，且该因子可从分母中约去。图像上表现为一个空心点。

复合函数

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将一个函数作为另一个函数的自变量，记作 (f ∘ g)(x) = f(g(x))。

逆函数

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若 f(g(x))=x 且 g(f(x))=x，则称函数 g 是函数 f 的逆函数，记作 f⁻¹(x)。原函数的定义域和值域与逆函数的值域和定义域互换。