AP 预备微积分 - 单元 2：指数与对数函数

指数函数

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形式为 f(x) = a·b^x 的函数，其中 b > 0 且 b ≠ 1，a 是初始值，b 是增长/衰减因子。

指数增长 vs 指数衰减

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在 f(x) = b^x 中，当 b > 1 时为指数增长；当 0 < b < 1 时为指数衰减。

恒定比率

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指数函数的关键特征：对于等间隔的输入值，其输出值的比率是恒定的。

自然底数 e

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一个重要的无理常数，约等于 2.71828，是连续增长模型的基础。

指数函数的渐近线

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对于 f(x) = b^x + k，水平渐近线是 y = k。

对数函数的定义

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指数函数的反函数。y = log_b(x) 等价于 b^y = x。

常用对数 (Common Log)

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以 10 为底的对数，记作 log(x)。

自然对数 (Natural Log)

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以 e 为底的对数，记作 ln(x)。

对数函数的渐近线

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对于 f(x) = log_b(x-h)，垂直渐近线是 x = h。

指数与对数的关系

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它们互为反函数，图像关于直线 y = x 对称。

反函数性质

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log_b(b^x) = x 和 b^(log_b(x)) = x

对数乘法法则

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log_b(M·N) = log_b(M) + log_b(N)

对数除法法则

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log_b(M/N) = log_b(M) - log_b(N)

对数幂法则

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log_b(M^p) = p·log_b(M)

换底公式

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log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，常用于将对数转为常用或自然对数进行计算。

解指数方程

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策略：1. 化为同底数。 2. 两边同时取对数。

解对数方程

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策略：1. 合并对数项。 2. 转化为指数形式。 3. 检验定义域（真数 > 0）。

半对数坐标图 (Semi-log Plot)

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一个坐标轴为对数刻度，另一个为线性刻度的图。它能将指数关系的数据点线性化。