AP 预备微积分 - 单元 3：三角与极坐标函数

周期函数 (Periodic Function)

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函数图像在固定的水平间隔内重复的函数，即 f(x + P) = f(x)，其中 P 为周期。

周期 (Period)

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函数完成一个完整循环所需的最小正水平长度。

振幅 (Amplitude)

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周期函数最大值与中线之间的距离。等于 (最大值 - 最小值) / 2。

中线 (Midline)

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函数图像振荡所围绕的水平中心线，方程为 y = (最大值 + 最小值) / 2。

弧度 (Radian)

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单位圆上，长度等于半径的圆弧所对的圆心角。π 弧度 = 180°。

单位圆上角度 θ 对应的点

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(cos θ, sin θ)

正切函数 (tan θ)

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sin θ / cos θ 或 单位圆上的 y / x

三个倒数三角函数

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csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ

sin²θ + cos²θ = 1

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毕达哥拉斯恒等式 (Pythagorean Identity)

y = A sin(B(x - C)) + D 中的参数代表什么？

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A: 振幅, 2π/|B|: 周期, C: 相位移动, D: 中线 (垂直位移)

逆正弦函数 (arcsin x)

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寻找一个在 [-π/2, π/2] 区间内的角度，其正弦值为 x。

逆余弦函数 (arccos x)

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寻找一个在 [0, π] 区间内的角度，其余弦值为 x。

逆正切函数 (arctan x)

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寻找一个在 (-π/2, π/2) 区间内的角度，其正切值为 x。

极坐标 (Polar Coordinates)

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用点到原点的距离 (r) 和与正 x 轴的夹角 (θ) 来定位点，记为 (r, θ)。

从极坐标 (r, θ) 到直角坐标 (x, y) 的转换

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x = r cos θ, y = r sin θ

从直角坐标 (x, y) 到极坐标 (r, θ) 的转换

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r² = x² + y², tan θ = y/x

极坐标方程 r = a

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以原点为中心，半径为 |a| 的圆。

极坐标方程 θ = c

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一条经过原点，与极轴（正 x 轴）夹角为 c 的直线。

极坐标方程 r = a cos θ

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一个圆心在 x 轴上且过原点的圆。