AP 统计学 - 单元 2：双变量数据探索

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散点图 (Scatterplot)

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一种显示两个定量变量之间关系的图形。

描述散点图的四个方面 (DUFS)

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方向 (Direction)、异常特征 (Unusual features)、形式 (Form)、强度 (Strength)。

正相关 (Positive Association)

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当一个变量增加时，另一个变量也倾向于增加。散点图从左到右呈上升趋势。

负相关 (Negative Association)

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当一个变量增加时，另一个变量倾向于减少。散点图从左到右呈下降趋势。

相关系数 (r)

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衡量两个定量变量之间线性关系的强度和方向的数值，范围在 -1 到 1 之间。

r 值的解释

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符号 (+/-) 表示方向。绝对值的大小表示强度 (接近 1 或 -1 表示强，接近 0 表示弱)。

最小二乘回归线 (LSRL)

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一条使残差平方和最小化的直线模型。方程为 ŷ = a + bx。

解释 LSRL 的斜率 (b)

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当自变量 x 每增加一个单位时，预测的因变量 ŷ 平均增加/减少 b 个单位。

解释 LSRL 的 y 轴截距 (a)

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当自变量 x 为 0 时，预测的因变量 ŷ 的值。仅当 x=0 在数据范围内时解释才有意义。

残差 (Residual)

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观测值与预测值之间的差异。公式：残差 = 观测 y - 预测 ŷ (y - ŷ)。

残差图 (Residual Plot)

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将残差与自变量 x 作图。如果图中没有明显的模式，则线性模型是合适的。

决定系数 (r²)

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因变量 y 的变异中，可以由与自变量 x 的线性关系所解释的百分比。

解释 r² = 0.75

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因变量 y 的变异中有 75% 可以由最小二乘回归线来解释。

残差的标准差 (s)

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使用 LSRL 进行预测时，预测值与实际观测值之间的典型差异大小（平均预测误差）。

离群值 (Outlier)

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在 y 方向上偏离数据整体模式的观测点，通常具有较大的残差。

强影响点 (Influential Point)

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如果移除该点，会显著改变回归线（斜率、截距或相关系数）的点。通常在 x 方向上极端。

外推 (Extrapolation)

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使用回归线对远超出原始数据 x 值范围的值进行预测。这种预测通常不可靠。