AP 统计学 - 单元 4：概率、随机变量与概率分布

概率 (Probability)

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一个事件发生的可能性大小，数值介于 0 和 1 之间。

互斥事件 (Mutually Exclusive Events)

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两个事件不能同时发生。P(A and B) = 0。

条件概率 P(A|B)

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在事件 B 已发生的条件下，事件 A 发生的概率。计算公式: P(A and B) / P(B)。

独立事件 (Independent Events)

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一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。检验方法: P(A|B) = P(A) 或 P(A and B) = P(A)P(B)。

通用加法法则 P(A or B)

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P(A) + P(B) - P(A and B)。

通用乘法法则 P(A and B)

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P(A) * P(B|A)。

随机变量 (Random Variable)

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一个随机现象的数值结果。分为离散型（可数）和连续型（区间内任意值）。

期望值 E(X) 或 μₓ

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离散随机变量的理论长期平均值。计算公式: Σxᵢpᵢ。

随机变量的标准差 σₓ

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衡量随机变量取值与其均值的分散程度。先计算方差 σₓ² = Σ(xᵢ - μₓ)²pᵢ，再开方。

随机变量的线性变换 Y = a + bX

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均值: μᵧ = a + bμₓ；标准差: σᵧ = |b|σₓ。

独立随机变量求和/差的规则

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均值: E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)；方差: Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) (方差只加不减)。

10% 条件 (10% Condition)

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当无放回抽样时，若样本量 n 不超过总体 N 的 10%，可近似认为各次抽样独立。

二项分布的四个条件 (BINS)

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B: 每次试验只有两种结果；I: 试验相互独立；N: 试验次数 n 固定；S: 每次成功概率 p 相同。

二项分布概率 P(X=k)

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C(n,k) * pᵏ * (1-p)ⁿ⁻ᵏ。在 n 次试验中恰好有 k 次成功的概率。

二项分布的均值与标准差

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均值 μ = np；标准差 σ = √(np(1-p))。

几何分布 (Geometric Distribution)

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计算直到第一次成功所需的试验次数 (X)。每次试验独立，成功概率 p 相同。

几何分布的均值

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获得第一次成功所需的平均试验次数。μ = 1/p。