AP 统计学 - 单元 6: 分类数据推断：比例

样本比例 (p̂)

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在样本中具有特定特征的个体所占的比例。公式: p̂ = x/n (x=成功次数, n=样本量)

样本比例的抽样分布均值 (μ_p̂)

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μ_p̂ = p (总体比例)

样本比例的抽样分布标准差 (σ_p̂)

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σ_p̂ = √[p(1-p)/n]。使用此公式需满足10%条件。

比例推断的三个条件

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1. 随机 (Random)
2. 10% 条件 (10% Condition)
3. 大样本计数条件 (Large Counts Condition)

大样本计数条件 (Large Counts Condition)

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对于置信区间: np̂ ≥ 10 且 n(1-p̂) ≥ 10。
对于显著性检验: np₀ ≥ 10 且 n(1-p₀) ≥ 10。

样本比例的标准误 (SE_p̂)

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当总体比例 p 未知时，对其标准差的估计。SE_p̂ = √[p̂(1-p̂)/n]

单比例 z 置信区间 (One-Sample z-Interval)

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公式: p̂ ± z* ⋅ SE_p̂
用于估计一个未知的总体比例 p。

临界值 (z*)

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由置信水平决定的 z 分数。例如，95% 置信水平的 z* 约为 1.96。

单比例 z 检验的检验统计量 (Test Statistic)

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z = (p̂ - p₀) / √[p₀(1-p₀)/n]
其中 p₀ 是原假设中的总体比例。

确定样本量 n 的公式

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n = (z*/ME)² ⋅ p*(1-p*)
若无 p* 的估计值，使用 p*=0.5 以获得最大样本量。

I 型错误 (Type I Error)

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原假设为真，但我们拒绝了原假设 (弃真)。其概率为显著性水平 α。

II 型错误 (Type II Error)

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原假设为假，但我们未能拒绝原假设 (存伪)。其概率为 β。

双比例 z 置信区间

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公式: (p̂₁ - p̂₂) ± z* ⋅ √[p̂₁(1-p̂₁)/n₁ + p̂₂(1-p̂₂)/n₂]
用于估计两个总体比例之差 p₁ - p₂。

合并样本比例 (p̂_c)

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在双比例 z 检验中，假设 H₀: p₁=p₂ 时对共同比例的估计。
p̂_c = (x₁ + x₂) / (n₁ + n₂)

双比例 z 检验的检验统计量

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z = (p̂₁ - p̂₂) / √[p̂_c(1-p̂_c)/n₁ + p̂_c(1-p̂_c)/n₂]
分母使用合并样本比例 p̂_c。

检验的功效 (Power of a Test)

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当备择假设为真时，正确拒绝原假设的概率。功效 = 1 - β。