AP 统计学 - 单元 8：卡方检验

卡方检验 (Chi-Square Test)

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一种用于比较分类数据的观测频数与期望频数的统计检验。

卡方统计量 (χ²)

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χ² = Σ [ (观测值 - 期望值)² / 期望值 ]。它衡量观测值与期望值的总体差异。

观测频数 (Observed Counts)

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在样本数据中实际观察到的每个类别的频数。

期望频数 (Expected Counts)

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在原假设为真的前提下，我们预期在每个类别中会观察到的频数。

卡方检验的三个条件

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1. 随机 (Random) 2. 10%条件 (10% Condition) 3. 大样本 (Large Counts): 所有期望频数都必须 ≥ 5。

卡方拟合优度检验 (Goodness-of-Fit Test)

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检验单个分类变量的观测分布是否与一个声称的理论分布相符。

拟合优度检验的原假设 (H₀)

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变量的分布与声称的分布一致。

拟合优度检验的自由度 (df)

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df = 类别数 - 1

卡方同质性检验 (Test for Homogeneity)

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检验来自两个或多个不同总体的某个分类变量的分布是否相同。

同质性检验的原假设 (H₀)

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各个总体的分类变量分布是相同的。

卡方独立性检验 (Test for Independence)

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检验单一总体中的两个分类变量之间是否存在关联（即，是否独立）。

独立性检验的原假设 (H₀)

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两个分类变量之间没有关联（它们是独立的）。

同质性/独立性检验的自由度 (df)

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df = (行数 - 1) × (列数 - 1)

双向表的期望频数计算

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(该格所在行总计 × 该格所在列总计) / 表格总计

卡方分布 (Chi-Square Distribution)

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一种由自由度决定的右偏态分布，其值永远为非负数。

P值 (P-value)

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在原假设为真的条件下，获得一个至少与观测到的样本一样极端的卡方统计量的概率。

统计结论

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如果 P 值 ≤ α (显著性水平)，则拒绝原假设，表明有足够证据支持备择假设。

卡方检验的后续分析

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通过比较每个类别的 (观测值 - 期望值)² / 期望值的大小，找出对卡方统计量贡献最大的部分。